Géométries affine et euclidienne, isométries, nombres complexes, géométrie sphérique
20 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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Le barycentre de deux points affectés de coefficients positifs se rapproche du point affecté du plus grand coefficient.
Ce module rassemble quatre outils du programme de l'option de l'épreuve 2 d'inspecteur : l'espace affine, avec ses droites, ses plans et ses barycentres ; les isométries du plan, translations, rotations et réflexions ; les nombres complexes, dont l'écriture module-argument code exactement les mêmes transformations ; et la géométrie sphérique, où la somme des angles d'un triangle n'est plus 180 degrés. S'y ajoutent les courbes paramétrées du plan, tangente et normale, sur l'exercice n° 4 du sujet de 2026. Chaque notion est traitée avec un exemple calculé de bout en bout.
À retenir
- Un espace affine associe à deux points A et B un vecteur AB ; un repère affine, origine et base de vecteurs, permet d'écrire un point par des coordonnées, et une droite ou un plan par une équation paramétrique ou cartésienne.
- Le barycentre de points pondérés, de somme des coefficients non nulle, est l'unique point G tel que la somme pondérée des vecteurs GAi soit nulle ; ses coordonnées sont la moyenne pondérée des coordonnées des points.
- Une application affine transforme un repère affine en un repère affine ; translations, homothéties et projections en sont des cas particuliers, chacune caractérisée par ses points fixes et son effet sur les vecteurs.
- Les isométries du plan conservent les distances et se classent en translations, rotations, réflexions et symétries glissées (réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe) ; rotations et réflexions ont respectivement un point fixe, le centre, ou une droite fixe, l'axe, et se distinguent par la conservation ou le renversement de l'orientation.
- Un nombre complexe z = a + ib a pour module la racine de a² + b², et pour argument l'angle θ tel que a = module × cos θ et b = module × sin θ ; sa forme exponentielle s'écrit module × e puissance (i × θ).
- La transformation z ↦ a×z + b, avec a complexe non nul, est une similitude directe : translation si a = 1, homothétie si a est réel différent de 1, rotation si le module de a vaut 1 et a ≠ 1, de centre le point fixe résolvant z = a×z + b.
- Sur une sphère, un grand cercle est l'intersection avec un plan passant par le centre ; un triangle sphérique a toujours une somme d'angles supérieure à 180 degrés, et la distance entre deux points vaut le rayon multiplié par l'angle, en radians, qui les sépare vus du centre.
Espace affine, droites, plans, barycentre
Un espace affine associe à tout couple de points (A ; B) un vecteur AB, avec la relation de Chasles AB + BC = AC. Muni d'une origine et d'une base de vecteurs, il devient un repère affine, dans lequel chaque point a des coordonnées. Une droite se représente par une équation paramétrique, x égale l'abscisse de A plus t fois a, y égale l'ordonnée de A plus t fois b, pour t réel, (a ; b) vecteur directeur, ou par une équation cartésienne obtenue en éliminant t.
Soit la droite passant par A(1 ; 2) de vecteur directeur u = (3 ; 4). Une représentation paramétrique s'écrit x = 1 + 3t, y = 2 + 4t, pour t réel. En éliminant t, (x − 1) ÷ 3 = (y − 2) ÷ 4, soit 4(x − 1) = 3(y − 2), c'est-à-dire 4x − 3y + 2 = 0 : c'est l'équation cartésienne. Le point B(4 ; 6) vérifie 4×4 − 3×6 + 2 = 16 − 18 + 2 = 0 : il appartient bien à la droite.
Soit le plan passant par A(1 ; 0 ; 0), de vecteurs directeurs u = (1 ; 1 ; 0) et v = (1 ; 0 ; 1). Un point M(x ; y ; z) du plan s'écrit M = A + s×u + t×v, soit x = 1 + s + t, y = s, z = t. En reportant s = y et t = z dans la première égalité, x = 1 + y + z, soit l'équation cartésienne x − y − z = 1. Le point (2 ; 1 ; 0), obtenu avec s = 1 et t = 0, vérifie 2 − 1 − 0 = 1.
Le barycentre de points pondérés A1 de coefficient m1, …, An de coefficient mn, de somme des coefficients non nulle, est l'unique point G tel que la somme des mi fois le vecteur GAi soit nulle. Ses coordonnées s'obtiennent comme moyenne pondérée des coordonnées des points, chaque coordonnée étant multipliée par son coefficient puis divisée par la somme des coefficients.
Soit A(1 ; 2) affecté du coefficient 2, et B(4 ; 6) affecté du coefficient 3. Le barycentre G de (A, 2) et (B, 3) a pour coordonnées ((2×1 + 3×4) ÷ 5 ; (2×2 + 3×6) ÷ 5), soit (14 ÷ 5 ; 22 ÷ 5), c'est-à-dire (2,8 ; 4,4). G est plus proche de B que de A, ce qui reflète le coefficient plus grand affecté à B.
Applications affines et isométries du plan
Une homothétie de centre Ω et de rapport k, réel non nul, transforme M en M′ = Ω + k×(M − Ω) ; Ω est l'unique point fixe. Une translation de vecteur u transforme M en M + u, sans aucun point fixe sauf si u est nul. Une projection sur un sous-espace F, parallèlement à un supplémentaire G, envoie chaque point sur sa composante dans F.
L'homothétie de centre Ω(1 ; 1) et de rapport 2 transforme un point M en M′ = Ω + 2×(M − Ω). Pour M(3 ; 2), M − Ω = (2 ; 1), donc M′ = (1 ; 1) + 2×(2 ; 1) = (1 + 4 ; 1 + 2) = (5 ; 3).
| Isométrie | Points ou droite fixes | Orientation |
|---|---|---|
| Translation | Aucun, sauf si le vecteur est nul | Conservée |
| Rotation | Un point fixe, le centre | Conservée |
| Réflexion | Une droite fixe, l'axe | Renversée |
| Symétrie glissée : réflexion suivie d'une translation parallèle à l'axe, de vecteur non nul | Aucun point fixe | Renversée |
La rotation de centre O et d'angle 90° transforme M(x ; y) en (x×cos 90° − y×sin 90° ; x×sin 90° + y×cos 90°), soit (−y ; x) puisque cos 90° = 0 et sin 90° = 1. Pour M(2 ; 0), l'image vaut (−0 ; 2) = (0 ; 2). La réflexion d'axe (Ox) transforme (x ; y) en (x ; −y) ; celle d'axe la droite d'équation y = x échange les deux coordonnées. Leur composée, réflexion d'axe (Ox) puis réflexion d'axe (y = x), transforme M(1 ; 3) d'abord en (1 ; −3), puis en (−3 ; 1) : c'est exactement l'image de (1 ; 3) par la rotation de centre O et d'angle 90°, calculée par (−y ; x) = (−3 ; 1).
Confusions fréquentes
- Une réflexion inverse l'orientation, une rotation la conserve
- C'est le critère qui classe les isométries du plan : translations et rotations conservent l'orientation (isométries directes), réflexions et leurs composées avec une translation la renversent (isométries indirectes).
- Le centre d'une homothétie est un point fixe, pas n'importe quel point
- Seul le centre Ω vérifie Ω′ = Ω ; tout autre point est déplacé, à une distance au centre multipliée par la valeur absolue du rapport.
Nombres complexes et interprétation géométrique
Un nombre complexe z = a + ib a pour module la racine de a² + b², et pour argument l'angle θ vérifiant a = module × cos θ et b = module × sin θ. Sa forme exponentielle s'écrit module × e puissance (i × θ). Les racines n-ièmes d'un nombre complexe non nul ont pour module la racine n-ième de son module, et pour arguments son argument divisé par n, augmenté de multiples de 2π ÷ n.
Soit z = 1 + i√3. Son module vaut la racine de 1² + (√3)², soit la racine de 1 + 3, donc 2. Son argument θ vérifie cos θ = 1 ÷ 2 et sin θ = √3 ÷ 2, donc θ = 60°, soit π ÷ 3 en radians. La forme exponentielle de z s'écrit 2 × e puissance (i × π ÷ 3).
Les racines cubiques de 8 sont les nombres complexes z tels que z au cube égale 8, soit 8 × e puissance (i × 0). Elles ont pour module la racine cubique de 8, soit 2, et pour arguments 0, 2π ÷ 3 et 4π ÷ 3. Ce sont donc 2, 2 × e puissance (i × 2π ÷ 3) qui vaut −1 + i√3, et 2 × e puissance (i × 4π ÷ 3) qui vaut −1 − i√3.
| Valeur de a | Transformation |
|---|---|
| a = 1 | Translation de vecteur d'affixe b |
| a réel, a différent de 1 | Homothétie de rapport a |
| Module de a égal à 1, a non réel | Rotation d'angle l'argument de a |
| a quelconque non nul | Similitude directe, rotation composée avec une homothétie |
La transformation z ↦ i × z + (1 + i) a pour coefficient a = i, de module 1 et d'argument 90° : c'est une rotation. Son centre est le point fixe, solution de z = i × z + (1 + i), soit z × (1 − i) = 1 + i, donc z = (1 + i) ÷ (1 − i) = i, en multipliant haut et bas par (1 + i). C'est la rotation de centre le point d'affixe i, soit (0 ; 1), et d'angle 90°.
Géométrie sphérique
Sur une sphère, un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par son centre ; c'est le plus grand cercle possible tracé sur la sphère, et le plus court chemin à la surface entre deux points en suit un arc. Un triangle sphérique est formé de trois arcs de grands cercles ; contrairement au plan, la somme de ses trois angles n'est jamais égale à 180 degrés, elle la dépasse toujours, l'écart, appelé excès sphérique, étant proportionnel à l'aire du triangle.
Sur une sphère de rayon 1, un triangle trirectangle, formé par un quart d'équateur et deux quarts de méridiens perpendiculaires, a trois angles droits, soit une somme de 270 degrés et un excès de 90 degrés, c'est-à-dire π ÷ 2 radians. Sur cette sphère de rayon 1, cet excès égale exactement l'aire du triangle, le huitième de l'aire totale de la sphère, puisque 4π ÷ 8 vaut π ÷ 2.
Sur une sphère de rayon 1, la distance entre deux points A et B le long d'un grand cercle vaut le rayon multiplié par l'angle en radians séparant les deux directions vues du centre. Avec un angle de 60 degrés, soit π ÷ 3 radians, et un rayon de 1, la distance vaut π ÷ 3, environ 1,047.
Repérage sur une sphère de centre O et de rayon R : un point est repéré par sa latitude λ, entre −90° et 90°, et sa longitude φ, entre −180° et 180° ; ses coordonnées cartésiennes valent x = R cos λ cos φ, y = R cos λ sin φ et z = R sin λ. L'angle au centre entre deux points A et B s'obtient par le produit scalaire des vecteurs OA et OB : cos(AÔB) = sin λA sin λB + cos λA cos λB cos(φB − φA) ; la distance à la surface, le long du grand cercle, vaut R fois cet angle en radians.
A et B sont tous deux à la latitude 45° N, aux longitudes 0° et 90° E. cos(AÔB) = (√2/2)² + (√2/2)² × cos 90° = 1/2, donc AÔB = 60°, soit π/3 radian : la distance le long du grand cercle vaut Rπ/3, environ 1,047R. Le long du parallèle, cercle de rayon R cos 45°, le trajet vaudrait R cos 45° × π/2, environ 1,111R : il est plus long, le parallèle n'étant pas un grand cercle.
Confusions fréquentes
- La distance sur une sphère n'est pas la distance en ligne droite
- Le plus court chemin à la surface suit un grand cercle, de longueur rayon fois angle en radians ; la corde en ligne droite, plus courte, traverse l'intérieur de la sphère et n'est pas un trajet possible à la surface.
- Un triangle sphérique n'a pas une somme d'angles de 180 degrés
- Sa somme dépasse toujours 180 degrés, l'écart étant proportionnel à l'aire du triangle : plus le triangle est grand, plus la somme s'éloigne de 180 degrés.
Courbes paramétrées du plan : tangente et normale
Une courbe paramétrée du plan est l'ensemble des points M(t) = (x(t) ; y(t)), t parcourant un intervalle, x et y dérivables. En un point où le vecteur dérivé T(t) = (x'(t) ; y'(t)) n'est pas nul, point dit régulier, T(t) dirige la tangente, et N(t) = (−y'(t) ; x'(t)), qui lui est orthogonal, est un vecteur normal. La tangente en M(t) a pour équation y'(t)·(X − x(t)) − x'(t)·(Y − y(t)) = 0. Pour reconnaître la courbe, on élimine le paramètre entre x(t) et y(t), puis on vérifie la réciproque : tout point de la courbe obtenue doit correspondre à une valeur de t.
Exercice n° 4 du sujet de 2026 : x = t², y = t, t réel. Nature : x = y², et réciproquement tout point (y² ; y) est M(y) : la courbe est la parabole d'équation x = y², de sommet O et d'axe (Ox), tournée vers les abscisses positives. Tangente et normale : T(t) = (2t ; 1), jamais nul, et N(t) = (−1 ; 2t), orthogonal à T(t) puisque 2t × (−1) + 1 × 2t = 0. Tangente en A, de paramètre a : 1 × (X − a²) − 2a × (Y − a) = 0, soit X − 2aY + a² = 0 ; de même en B, X − 2bY + b² = 0. Intersection : par différence, 2(b − a)Y = b² − a², d'où Y = (a + b)/2 puisque a ≠ b, puis X = 2aY − a² = ab. Les deux tangentes se coupent en M(ab ; (a + b)/2).
Confusions fréquentes
- Éliminer le paramètre ne suffit pas toujours
- L'équation obtenue peut décrire plus de points que la courbe : x = cos² t, y = sin² t donne x + y = 1, mais seulement le segment où x et y sont compris entre 0 et 1. La réciproque se vérifie à part.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Le barycentre de deux points affectés de coefficients positifs se rapproche du point affecté du plus grand coefficient.Voir le corrigé
Vrai
Chaque coordonnée est une moyenne pondérée ; un coefficient plus grand tire le barycentre vers ce point.
2.Une translation possède un centre, point fixe de la transformation.Voir le corrigé
Faux
Une translation n'a aucun point fixe, sauf si son vecteur est nul ; c'est la rotation qui possède un centre fixe.
3.La composée de deux réflexions d'axes sécants est une rotation d'angle le double de l'angle entre les axes.Voir le corrigé
Vrai
C'est un théorème classique de composition des isométries du plan, vérifiable sur un exemple chiffré.
4.Le module d'un nombre complexe peut être négatif.Voir le corrigé
Faux
Le module est une racine carrée, donc toujours positif ou nul ; seul l'argument peut prendre des valeurs négatives.
5.La transformation z ↦ a×z + b est une rotation dès que a est un nombre complexe non nul.Voir le corrigé
Faux
Elle n'est une rotation que si le module de a vaut exactement 1 ; sinon c'est une similitude combinant rotation et homothétie.
6.Sur une sphère, la somme des angles d'un triangle sphérique dépasse toujours 180 degrés.Voir le corrigé
Vrai
L'excès sphérique, proportionnel à l'aire du triangle, s'ajoute toujours à la valeur plane de 180 degrés.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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