Théorèmes de Pythagore et de Thalès, triangles semblables
11 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Le théorème de Pythagore s'applique à tout triangle.
Deux théorèmes du collège suffisent à résoudre la quasi-totalité des questions de géométrie des QCM : Pythagore, qui relie les trois côtés d'un triangle rectangle, et Thalès, qui relie les longueurs découpées par deux droites parallèles. Le premier calcule une diagonale ou la hauteur atteinte par une échelle ; le second, la hauteur d'un arbre à partir de son ombre. Leurs réciproques servent à prouver qu'un angle est droit ou que deux droites sont parallèles.
À retenir
- Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit, le plus long des trois.
- Calcul d'un côté : hypoténuse = √(a² + b²) ; côté de l'angle droit = √(hypoténuse² − autre côté²). Ne pas oublier la racine carrée à la fin.
- Triplets à reconnaître : 3-4-5 (et 6-8-10, 9-12-15), 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25. Ils évitent tout calcul de racine.
- Réciproque de Pythagore : si le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle ; sinon, il ne l'est pas.
- Thalès : si (MN) est parallèle à (BC) dans le triangle ABC, avec M sur [AB] et N sur [AC], alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Thalès exige des droites parallèles : sans cette information, aucun rapport n'est valable. La réciproque, avec des points alignés dans le même ordre et des rapports égaux, prouve le parallélisme.
- Triangles semblables : mêmes angles, côtés proportionnels de rapport k. Les aires sont alors dans un rapport k², les périmètres dans un rapport k.
Le théorème de Pythagore
Dans un triangle ABC rectangle en A, BC² = AB² + AC². Pour trouver l'hypoténuse, on additionne les carrés puis on prend la racine : côtés 6 et 8, hypoténuse √(36 + 64) = √100 = 10. Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait : hypoténuse 13 et côté 5, autre côté √(169 − 25) = √144 = 12. Le théorème sert aussi hors des triangles annoncés : la diagonale d'un rectangle 9 × 12 est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 9 et 12, soit 15.
| Côtés de l'angle droit | Hypoténuse | Vérification |
|---|---|---|
| 3 et 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 6 et 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
| 5 et 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 et 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 et 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Une échelle de 5 m dont le pied est à 3 m du mur atteint une hauteur de √(25 − 9) = √16 = 4 m.
Confusions fréquentes
- L'hypoténuse est toujours le plus grand côté
- Dans l'égalité, le carré de l'hypoténuse est seul d'un côté. Écrire 13² + 5² pour trouver le troisième côté d'un triangle d'hypoténuse 13 est l'erreur la plus fréquente.
- La racine carrée oubliée
- 6² + 8² = 100 n'est pas l'hypoténuse : c'est son carré. L'hypoténuse vaut √100 = 10.
- Réciproque : comparer, puis conclure
- Pour 5, 6 et 8 : 5² + 6² = 61 et 8² = 64. Les deux nombres diffèrent, donc le triangle n'est pas rectangle. Une égalité approximative ne suffit pas.
Le théorème de Thalès
Soit un triangle ABC, M un point de [AB] et N un point de [AC]. Si (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM/AB = AN/AC = MN/BC. Les rapports partent toujours du sommet commun A. Pour calculer une longueur, on écrit l'égalité de deux rapports dont trois termes sont connus, puis on résout par produit en croix : avec AM = 3, AB = 9 et AC = 12, AN/12 = 3/9 donc AN = 12 × 3 ÷ 9 = 4. La configuration « papillon », où M et N sont de part et d'autre de A, obéit à la même égalité.
Un poteau de 2 m projette une ombre de 3 m ; au même instant, un arbre projette une ombre de 12 m. Les rayons du soleil étant parallèles, hauteur de l'arbre = 2 × 12 ÷ 3 = 8 m.
Réciproque de Thalès : si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) est parallèle à (BC). Si les rapports diffèrent, les droites ne sont pas parallèles. Les deux conditions sont nécessaires : des rapports égaux avec des points dans un ordre différent ne prouvent rien.
Triangles semblables et rapports d'aires
Deux triangles sont semblables quand ils ont les mêmes angles ; leurs côtés sont alors proportionnels, dans un rapport k appelé rapport de similitude. Dans la configuration de Thalès, les triangles AMN et ABC sont semblables. Quand les longueurs sont multipliées par k, les périmètres le sont aussi, mais les aires sont multipliées par k² : un triangle trois fois plus grand a une aire neuf fois plus grande.
Au QCM, une longueur trouvée par Thalès doit être cohérente avec la figure : si M est entre A et B, alors AM est plus petit que AB et MN plus petit que BC. Un résultat plus grand que le côté entier signale un rapport écrit à l'envers.
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1.Le théorème de Pythagore s'applique à tout triangle.Voir le corrigé
Faux
Il ne s'applique qu'aux triangles rectangles. Dans les autres, le carré du plus grand côté diffère de la somme des carrés des deux autres.
2.L'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle.Voir le corrigé
Vrai
Opposée à l'angle droit, elle est la seule à apparaître seule dans l'égalité de Pythagore : c'est le côté le plus long.
3.Si AB² = AC² + BC², alors le triangle ABC est rectangle en C.Voir le corrigé
Vrai
AB est le plus grand côté, donc l'hypoténuse ; l'angle droit est au sommet opposé, C. C'est la réciproque du théorème.
4.Le théorème de Thalès s'applique dès que deux droites sont sécantes, même sans parallèles.Voir le corrigé
Faux
Le parallélisme de (MN) et (BC) est la condition du théorème. Sans lui, les rapports n'ont aucune raison d'être égaux.
5.Le triangle de côtés 3, 4 et 5 est rectangle.Voir le corrigé
Vrai
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² : par la réciproque de Pythagore, il est rectangle, avec 5 pour hypoténuse.
6.Dans deux triangles semblables de rapport 2, les aires sont dans un rapport 2.Voir le corrigé
Faux
Les aires sont dans un rapport k² = 4. Seuls les longueurs et le périmètre sont dans un rapport 2.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
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