Division euclidienne et critères de divisibilité
9 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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Vrai ou faux ?
Dans une division euclidienne, le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.
Quel jour serons-nous dans 100 jours ? Combien de tables de 8 pour 125 personnes, et combien restera-t-il de places ? Ces questions sont des divisions euclidiennes : un quotient entier et un reste. Les critères de divisibilité, eux, permettent de dire sans poser l'opération si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9, 10 ou 11 : au QCM sans calculatrice, ils font gagner la minute qui manque.
À retenir
- Division euclidienne de a par b : a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.
- Divisible par 2 : dernier chiffre pair. Par 5 : dernier chiffre 0 ou 5. Par 10 : dernier chiffre 0.
- Divisible par 3 : somme des chiffres multiple de 3. Par 9 : somme des chiffres multiple de 9. Un multiple de 9 est donc aussi multiple de 3.
- Divisible par 4 : le nombre formé des deux derniers chiffres est multiple de 4. Par 25 : deux derniers chiffres 00, 25, 50 ou 75.
- Divisible par 6 : divisible par 2 et par 3 à la fois. Le critère se combine, il ne se choisit pas.
- Divisible par 11 : la différence entre la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair est 0 ou un multiple de 11.
- Le reste d'une division par 7 donne le jour de la semaine : dans 100 jours, 100 = 7 × 14 + 2, on avance de deux jours.
La division euclidienne
Diviser 247 par 9 : 9 × 27 = 243 et 9 × 28 = 252 dépasse ; le quotient est 27 et le reste 247 − 243 = 4. On écrit 247 = 9 × 27 + 4. Le reste est toujours compris entre 0 et le diviseur exclu : un reste de 9 ou plus signale qu'on peut encore augmenter le quotient. Quand le reste est nul, le diviseur divise le dividende.
125 personnes à installer par tables de 8 : 125 = 8 × 15 + 5, soit 15 tables pleines et 5 personnes pour une seizième table.
Confusions fréquentes
- Un reste jamais supérieur au diviseur
- 1 000 = 7 × 140 + 20 est une égalité vraie mais ce n'est pas la division euclidienne : le reste 20 dépasse 7. Il faut poursuivre : 1 000 = 7 × 142 + 6.
- Quotient décimal et quotient entier
- 4 500 ÷ 3 600 = 1,25 en décimal, mais 4 500 s font 1 h et 900 s, pas 1 h 25 min. Une durée se traite par division euclidienne, pas par lecture décimale.
- Le jour dans n jours
- On avance du reste de n par 7, pas de n. Un mardi plus 100 jours : reste 2, donc jeudi ; le multiple de 7 le plus proche ne compte pas.
Les critères de divisibilité
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Dernier chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8 | 1 234 oui ; 2 145 non |
| 3 | Somme des chiffres multiple de 3 | 4 572 : 4 + 5 + 7 + 2 = 18, oui |
| 4 | Deux derniers chiffres forment un multiple de 4 | 7 316 : 16 multiple de 4, oui ; 1 214 : 14, non |
| 5 | Dernier chiffre 0 ou 5 | 2 145 oui |
| 6 | Divisible par 2 ET par 3 | 4 308 : pair et 4 + 3 + 0 + 8 = 15, oui |
| 9 | Somme des chiffres multiple de 9 | 4 527 : 18, oui ; 4 572 : 18, oui |
| 10 | Dernier chiffre 0 | 3 450 oui |
| 11 | Somme alternée des chiffres égale à 0 ou multiple de 11 | 1 331 : 1 − 3 + 3 − 1 = 0, oui |
| 25 | Deux derniers chiffres 00, 25, 50 ou 75 | 6 375 oui |
Le critère par 4 se lit sur les deux derniers chiffres parce que 100 est un multiple de 4 : tout ce qui précède les deux derniers chiffres est un multiple de 100, donc de 4. Pour la même raison, la divisibilité par 8 se lit sur les trois derniers chiffres (1 000 = 8 × 125) et celle par 25 sur les deux derniers. Le critère par 3 et par 9 tient à ce que 10, 100, 1 000 ont tous pour reste 1 dans la division par 9 : un nombre et la somme de ses chiffres ont le même reste par 9, et par 3.
Pour un chiffre manquant (« 3★5 est divisible par 9 »), additionner les chiffres connus (3 + 5 = 8) et chercher ce qui complète au multiple de 9 le plus proche : ★ = 1, puisque 8 + 1 = 9. Si la somme dépasse déjà 9, viser 18.
Trois usages au concours
Répartitions : le quotient donne le nombre de groupes complets, le reste ce qui ne rentre pas. Calendrier : le reste par 7 donne le décalage de jour de la semaine, le reste par 12 le décalage de mois, le reste par 24 le décalage d'heure sur un cadran. Fractions et simplifications : repérer d'un coup d'œil qu'un numérateur et un dénominateur sont tous deux multiples de 3 ou de 9 permet de simplifier sans poser de division.
Une horloge indique 9 h ; 100 heures plus tard, comme 100 = 24 × 4 + 4, elle indiquera 13 h, soit 1 h de l'après-midi.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.Dans une division euclidienne, le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.Voir le corrigé
Vrai
C'est la définition : a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. Un reste égal ou supérieur au diviseur signifie que le quotient peut encore augmenter.
2.Un nombre est divisible par 4 si son dernier chiffre est pair.Voir le corrigé
Faux
Le dernier chiffre pair garantit la divisibilité par 2 seulement. Pour 4, il faut lire les deux derniers chiffres : 14 n'est pas divisible par 4, 1 214 non plus.
3.Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3.Voir le corrigé
Vrai
9 = 3 × 3 : tout multiple de 9 est un multiple de 3. La réciproque est fausse, 12 est divisible par 3 mais pas par 9.
4.Un nombre qui se termine par 0 est divisible par 2, par 5 et par 10.Voir le corrigé
Vrai
Le dernier chiffre 0 satisfait les trois critères à la fois : pair, 0 ou 5, et 0.
5.Pour être divisible par 6, il suffit d'être divisible par 2.Voir le corrigé
Faux
Il faut être divisible par 2 et par 3 : 10 est pair mais n'est pas un multiple de 6.
6.Le reste de la division de 50 par 7 est 8.Voir le corrigé
Faux
7 × 7 = 49, donc 50 = 7 × 7 + 1 : le reste est 1. Un reste de 8 dépasserait le diviseur.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
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