Les quatre opérations, enchaînements et priorités opératoires
9 min de lectureAu programme du concours d’agent administratif et du concours de contrôleur des Finances publiques
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3 + 4 × 2 est égal à 14.
Sans calculatrice au QCM de catégorie C, tout repose sur le calcul mental et sur une règle que beaucoup croient connaître : l'ordre des opérations. 3 + 4 × 2 ne fait pas 14 mais 11. Parenthèses, puissances, multiplications et divisions, puis additions et soustractions : la règle tient en une ligne, ses pièges en quelques exemples. Les nombres relatifs y ajoutent la question du signe.
À retenir
- Ordre des priorités : d'abord les parenthèses (de l'intérieur vers l'extérieur), puis les puissances, puis les multiplications et divisions de gauche à droite, enfin les additions et soustractions de gauche à droite.
- Sans parenthèses : 3 + 4 × 2 = 11 ; 20 − 8 ÷ 2 = 16 ; 2 + 3² = 11.
- Avec parenthèses : (3 + 4) × 2 = 14 ; 5 × (6 − 2)² = 80 ; 15 − (4 + 3) × 2 = 1.
- Multiplications et divisions ont la même priorité et se traitent de gauche à droite : 100 ÷ 5 × 2 = 40, et 48 ÷ 2 × 4 = 96 mais 48 ÷ (2 × 4) = 6.
- Nombres relatifs : le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, de signes contraires négatif ; (−2) × (−5) = 10, (−12) ÷ 3 = −4.
- Additionner un négatif revient à soustraire : 7 + (−3) = 4 ; soustraire un négatif revient à additionner : 7 − (−3) = 10.
- Une puissance s'applique au nombre qui la précède immédiatement : −3² = −9 mais (−3)² = 9.
La règle des priorités
| Niveau | Opérations | Exemple |
|---|---|---|
| 1 | Parenthèses, de l'intérieur vers l'extérieur | (3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14 |
| 2 | Puissances | 2 + 3² = 2 + 9 = 11 |
| 3 | Multiplications et divisions, de gauche à droite | 100 ÷ 5 × 2 = 20 × 2 = 40 |
| 4 | Additions et soustractions, de gauche à droite | 18 − 3 × 4 + 2 = 18 − 12 + 2 = 8 |
Quand une expression mêle plusieurs niveaux, on la traite par étapes en réécrivant à chaque fois ce qui reste : 5 × (6 − 2)² devient 5 × 4², puis 5 × 16, puis 80. Écrire les étapes évite l'erreur classique qui consiste à multiplier avant d'élever au carré, et permet de vérifier son calcul en relisant.
Confusions fréquentes
- Multiplication et division sont à égalité
- 48 ÷ 2 × 4 se lit de gauche à droite : 24 × 4 = 96. Faire la multiplication d'abord donnerait 48 ÷ 8 = 6, qui correspond à une autre expression, 48 ÷ (2 × 4).
- Le signe moins devant un carré
- −3² vaut −9, car la puissance s'applique à 3 seul ; (−3)² vaut 9. Un QCM peut proposer les deux réponses.
- Soustraire de gauche à droite
- 20 − 5 − 3 = 12, pas 18 : on ne regroupe pas 5 − 3 avant. Les additions et soustractions se lisent dans l'ordre.
Les nombres relatifs
Pour additionner deux relatifs de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe : (−3) + (−4) = −7. Pour deux signes différents, on soustrait la plus petite distance de la plus grande et on garde le signe de la plus grande : (−3) + 7 = 4. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : 5 − (−2) = 5 + 2 = 7. Pour un produit ou un quotient, le résultat est positif si les deux signes sont identiques, négatif sinon : (−2) × (−5) = 10, 6 × (−3) = −18, (−12) ÷ 3 = −4.
Un solde bancaire de −120 € auquel s'ajoute un virement de 200 € donne 80 € ; un solde de −120 € diminué d'un prélèvement de 50 € donne −170 €.
Calcul mental utile au concours
Multiplier par 5 : multiplier par 10 puis diviser par 2 (46 × 5 = 230). Multiplier par 25 : multiplier par 100 puis diviser par 4 (36 × 25 = 900). Multiplier par 11 : multiplier par 10 puis ajouter le nombre (23 × 11 = 230 + 23 = 253 ; 68 × 11 = 680 + 68 = 748). Diviser par 5 : multiplier par 2 puis diviser par 10 (135 ÷ 5 = 27). Décomposer : 17 × 12 = 17 × 10 + 17 × 2 = 170 + 34 = 204. Vérifier un résultat par l'ordre de grandeur et par le dernier chiffre.
Au QCM, poser l'expression au brouillon et souligner ce qui se calcule en premier aide à respecter les priorités et à relire chaque étape.
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1.3 + 4 × 2 est égal à 14.Voir le corrigé
Faux
La multiplication est prioritaire : 3 + 8 = 11. Le résultat 14 correspond à (3 + 4) × 2.
2.Dans une expression sans parenthèses, les puissances se calculent avant les multiplications.Voir le corrigé
Vrai
Ordre : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions.
3.Le produit de deux nombres négatifs est négatif.Voir le corrigé
Faux
Deux signes identiques donnent un produit positif : (−2) × (−5) = 10.
4.100 ÷ 5 × 2 est égal à 40.Voir le corrigé
Vrai
Multiplication et division ont la même priorité et se traitent de gauche à droite : 20 × 2 = 40.
5.(−3)² est égal à −9.Voir le corrigé
Faux
Avec les parenthèses, le carré s'applique à −3 tout entier : (−3) × (−3) = 9. C'est −3² qui vaut −9.
6.Soustraire un nombre négatif revient à additionner son opposé.Voir le corrigé
Vrai
Deux signes moins qui se suivent équivalent à un plus : 7 − (−3) = 7 + 3 = 10.
Textes de référence
- Programme de mathématiques du cycle 4 (arrêté du 17 juillet 2020, BOEN n° 31 du 30 juillet 2020) — Ministère de l'Éducation nationale (nouvel onglet)
- Programme de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe de contrôleur des finances publiques (QCM et cinq options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Sujet zéro 2026 — épreuve de préadmissibilité (QCM) du concours commun de catégorie C — DGFiP — rejoindrelesfinancespubliques.economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Enseignement du calcul : un enjeu majeur pour la maîtrise des principaux éléments de mathématiques — Ministère de l’Éducation nationale (nouvel onglet)
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