Intégration et développements limités

Sur un segment [a,b], une fonction continue f est intégrable au sens de Riemann : en subdivisant [a,b] en un nombre croissant de sous-intervalles et en approchant l'aire sous la courbe par des rectangles, les sommes obtenues, dites sommes de Riemann, convergent vers une limite commune, notée intégrale de a à b de f(t)dt, indépendante du choix des subdivisions et des points choisis dans chaque sous-intervalle.

Théorème fondamental de l'analyse : si f est continue sur un intervalle I et si a appartient à I, la fonction F définie sur I par F(x) égale l'intégrale de a à x de f(t)dt est dérivable, de dérivée F' égale f : F est une primitive de f. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante. Conséquence pratique : pour calculer l'intégrale de a à b de f, il suffit de trouver une primitive G de f, puis d'écrire l'intégrale de a à b de f égale G(b) moins G(a), quelle que soit la primitive choisie.

Intégration par parties : pour u et v dérivables sur [a,b], à dérivées continues, l'intégrale de a à b du produit de la dérivée de u par v vaut le terme tout intégré entre crochets, u fois v pris entre a et b, moins l'intégrale de a à b du produit de u par la dérivée de v. La méthode réussit quand on choisit de dériver la partie qui se simplifie (un polynôme, par exemple) et d'intégrer la partie qui se reproduit (une exponentielle, un sinus, un cosinus).

Changement de variable : si φ est dérivable, à dérivée continue, sur [a,b], et f continue sur l'intervalle parcouru par φ, alors l'intégrale de a à b de f(φ(t)) multiplié par φ'(t) dt vaut l'intégrale de φ(a) à φ(b) de f(u) du. Le point de méthode essentiel est de changer les bornes en même temps que la variable : les nouvelles bornes sont les images des anciennes par φ, jamais les anciennes bornes recopiées.

Une intégrale impropre, sur un intervalle non borné ou au voisinage d'un point où la fonction n'est pas définie, se définit comme une limite : l'intégrale de a à l'infini de f(t)dt est la limite, quand X tend vers l'infini, de l'intégrale de a à X de f(t)dt, si cette limite existe et est finie ; l'intégrale converge dans ce cas, elle diverge sinon.

Comparaison série-intégrale : si f est positive, décroissante et continue sur [1, l'infini[, la série de terme général f(n) et l'intégrale de 1 à l'infini de f(t)dt ont la même nature, convergentes ou divergentes ensemble. Ce résultat redémontre le critère de convergence des séries de Riemann à partir de l'intégrale de dx sur x puissance α. Il fournit aussi une majoration du reste d'une série convergente : pour f positive et décroissante, la somme des termes de rang supérieur à N est majorée par l'intégrale de N à l'infini de f(t)dt.

Convergence sans primitive, par comparaison. Pour f et g continues et positives sur [a, +∞[ : si f est majorée par g et que l'intégrale de g converge, celle de f converge ; si f est équivalente à g en +∞, les deux intégrales ont la même nature ; si f est négligeable devant 1/t² en +∞, l'intégrale de f converge. Pour f de signe quelconque, la convergence de l'intégrale de |f|, dite convergence absolue, entraîne celle de l'intégrale de f. En une borne finie où f n'est pas définie mais admet une limite finie, f se prolonge par continuité : l'intégrale n'est impropre qu'en apparence (faussement impropre) et converge. La relation de Chasles permet de découper l'intervalle pour traiter chaque borne à part.

Formule de Taylor-Young : si f est n fois dérivable en a, alors au voisinage de a, f(x) est égal à un polynôme en (x − a) de degré n, formé à partir des dérivées successives de f en a, plus un reste négligeable devant (x − a) puissance n, noté petit o de (x − a) puissance n. Ce développement limité à l'ordre n est unique : deux développements limités d'une même fonction, au même ordre, coïncident terme à terme, ce qui permet d'identifier deux développements limités comme on identifierait deux polynômes.

Pour une QRC sur les développements limités : préciser l'ordre demandé avant d'écrire le développement, effectuer les opérations (somme, produit, quotient) en tronquant systématiquement au même ordre, puis conclure explicitement sur la limite, l'équivalent ou la position de courbe attendue.