Séries numériques et séries entières : convergence, rayon, développement

À une suite de terme général u indice n, on associe la suite des sommes partielles, S indice n égale la somme de u indice 0 à u indice n. La série de terme général u indice n converge si cette suite S indice n a une limite finie S, appelée somme de la série ; sinon la série diverge. Une condition nécessaire, mais non suffisante, découle immédiatement de la définition : si la série converge, u indice n, différence entre deux sommes partielles consécutives, tend vers S moins S, c'est-à-dire vers 0. Sa contraposée est l'outil le plus utilisé en pratique : si le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement, sans qu'aucun autre calcul soit nécessaire.

Pour une série à termes positifs, deux méthodes de comparaison suffisent le plus souvent. Comparaison : si 0 ≤ u indice n ≤ v indice n à partir d'un certain rang et si la série de terme général v indice n converge, alors celle de terme général u indice n converge aussi ; si celle de terme général u indice n diverge, celle de terme général v indice n diverge aussi. Équivalents : si u indice n est équivalent à v indice n quand n tend vers l'infini, les deux séries ont la même nature — convergentes ensemble, ou divergentes ensemble. Ce résultat par équivalents exige que les deux suites soient de signe constant : appliqué à des termes de signe variable, il peut conduire à une conclusion erronée.

Règle de d'Alembert : pour une série à termes strictement positifs, si le rapport u indice n+1 sur u indice n a une limite L, alors L strictement inférieur à 1 entraîne la convergence, L strictement supérieur à 1 entraîne la divergence, et L égal à 1 ne permet aucune conclusion. Règle de Cauchy : mêmes conclusions, en étudiant la limite de la racine n-ième de u indice n. Les deux règles s'appliquent aux mêmes situations, avec une préférence pratique pour d'Alembert quand le terme général contient une factorielle ou un produit, et pour Cauchy quand il contient une puissance n-ième explicite.

Critère de Leibniz pour une série alternée, de terme général (−1) puissance n multiplié par a indice n, avec a indice n positif : si la suite a indice n décroît et tend vers 0, la série converge. De plus, le reste de la série à partir d'un rang donné est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé, et il a le signe de ce terme. Ce résultat donne une majoration explicite de l'erreur commise en tronquant la série à un rang fini, ce qu'aucun des critères précédents ne fournit directement.

Une série entière est une série de fonctions de terme général a indice n multiplié par x puissance n. Il existe un unique réel R, positif, nul ou infini, appelé rayon de convergence, tel que la série converge absolument pour toute valeur de x dont la valeur absolue est strictement inférieure à R, à l'intérieur du disque de convergence, et diverge hors du disque, pour une valeur absolue de x strictement supérieure à R. Sur le bord, à valeur absolue égale à R, aucune conclusion générale n'est possible : il faut étudier chaque cas séparément, comme le montre l'exemple de la série de terme général x puissance n sur n, qui diverge en x = 1 et converge en x = −1 par le critère de Leibniz. Le rayon se calcule le plus souvent par la règle de d'Alembert : si la valeur absolue du rapport des coefficients consécutifs, a indice n+1 sur a indice n, a une limite ℓ, alors R vaut 1 sur ℓ (infini si ℓ est nulle) ; la valeur absolue est indispensable dès que les coefficients changent de signe, comme ceux du logarithme de (1 + x), dont le rapport tend vers −1. De façon plus générale, la formule de Hadamard, 1 sur R égale la limite supérieure de la racine n-ième de la valeur absolue de a indice n, s'applique même quand la limite simple n'existe pas.

À l'intérieur du disque de convergence, la somme d'une série entière est continue, et même indéfiniment dérivable terme à terme : sa dérivée est la série entière obtenue en dérivant chaque terme, et cette série dérivée a le même rayon de convergence que la série de départ. La même propriété vaut pour la primitive, obtenue par intégration terme à terme. Ce résultat justifie qu'on manipule une série entière, à l'intérieur de son disque, comme une fonction ordinaire : dériver, intégrer, ou identifier deux développements terme à terme.

Pour une QRC sur une série numérique : vérifier d'abord la condition nécessaire, puis choisir l'outil selon la forme du terme général — factorielle ou produit vers d'Alembert, puissance n-ième vers Cauchy, terme alterné vers Leibniz. Pour une série entière : calculer R, puis traiter le bord à part si la question le demande.