Population, caractères, position et dispersion d'une série, données groupées
18 min de lectureAu programme du concours d’inspecteur des Finances publiques
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La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.
Avant toute inférence, il faut décrire : de qui parle-t-on, que mesure-t-on, comment résumer une série par quelques nombres qui disent où elle se situe et comment elle s'étale. Le programme de l'option détaille ce vocabulaire — population, individus, échantillon observé, caractère qualitatif ou quantitatif — puis les caractéristiques de position (mode, moyenne, médiane, quartiles, déciles, quantiles, et leurs versions par classes) et de dispersion (étendue, variance, écart type, écarts interquantiles). Les exemples ci-dessous sont des données fictives de délais et de montants de dossiers.
À retenir
- La population est l'ensemble étudié, ses éléments les individus ; l'échantillon observé est la partie de la population sur laquelle on relève effectivement le caractère. La série statistique est la liste des valeurs observées x1, …, xn.
- Un caractère est qualitatif (nominal, comme le type d'impôt, ou ordinal, comme un niveau de risque) ou quantitatif (discret, comme un nombre d'enfants, ou continu, comme un montant, souvent regroupé en classes).
- Effectif ni d'une modalité, fréquence fi = ni/n, effectifs et fréquences cumulés croissants : ils décrivent la répartition et servent à lire médiane et quantiles.
- Position : le mode est la valeur la plus fréquente ; la moyenne x̄ = (1/n)Σxi est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane partage la série ordonnée en deux moitiés et leur résiste. Quartiles, déciles et quantiles généralisent la médiane.
- Dispersion : étendue = max − min ; variance V = (1/n)Σ(xi − x̄)² = (1/n)Σxi² − x̄² (formule de König-Huygens) ; écart type σ = √V, dans l'unité des données ; écart interquartile Q3 − Q1, robuste aux valeurs extrêmes.
- Transformation affine : si yi = a·xi + b, alors ȳ = a·x̄ + b (linéarité de la moyenne) et V(y) = a²·V(x), σ(y) = |a|·σ(x).
- Données groupées en classes : la moyenne se calcule avec les centres de classes, la médiane par interpolation linéaire dans la classe médiane, et la classe modale est celle de plus grande densité — effectif divisé par amplitude — quand les amplitudes diffèrent.
Population, caractère, série statistique : décrire avant de résumer
| Terme | Dans l'exemple |
|---|---|
| Population | Tous les dossiers traités par le service dans l'année |
| Individu | Un dossier |
| Échantillon observé | Les 200 dossiers tirés au hasard et examinés |
| Caractère qualitatif nominal | Le type d'impôt concerné |
| Caractère qualitatif ordinal | Le niveau de risque attribué : bas, moyen, élevé |
| Caractère quantitatif discret | Le nombre de relances envoyées |
| Caractère quantitatif continu | Le montant en jeu, regroupé en classes |
Pour un caractère à k modalités, on dresse le tableau des effectifs ni, des fréquences fi = ni/n (de somme 1) et des fréquences cumulées croissantes Fi = f1 + … + fi. Un caractère qualitatif se représente par un diagramme en bâtons ou en secteurs ; un caractère continu groupé par un histogramme, dont l'AIRE de chaque rectangle — et non la hauteur — est proportionnelle à l'effectif de la classe.
Position et dispersion d'une série : calculs et robustesse
Délais de traitement, en jours, de 10 dossiers (données fictives), rangés : 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 9, 17. Moyenne : 60/10 = 6 jours. Médiane : moyenne des 5e et 6e valeurs, (5 + 5)/2 = 5 jours. Mode : 5. Quartiles, avec la convention « plus petite valeur telle qu'au moins 25 %, resp. 75 %, des données lui soient inférieures ou égales » : Q1 = 3e valeur = 3, Q3 = 8e valeur = 7, d'où un écart interquartile de 4 jours. Étendue : 17 − 2 = 15 jours.
Même série : Σxi² = 4 + 9 + 9 + 16 + 25 + 25 + 25 + 49 + 81 + 289 = 532. Par König-Huygens, V = 532/10 − 6² = 53,2 − 36 = 17,2 ; l'écart type vaut √17,2, environ 4,15 jours. Le coefficient de variation σ/x̄, environ 0,69, compare des dispersions exprimées dans des unités ou à des niveaux différents.
Confusions fréquentes
- Variance et écart type n'ont pas la même unité
- La variance s'exprime dans le carré de l'unité des données (jours²) ; seul l'écart type se lit dans l'unité d'origine et se compare à la moyenne.
- Les conventions de quartiles diffèrent
- Certaines méthodes interpolent entre deux valeurs, d'autres prennent une valeur de la série. Sur une petite série, les résultats peuvent différer : annoncer la convention utilisée.
Données groupées en classes
| Classe (euros) | Effectif | Fréquence cumulée | Densité (effectif / amplitude) |
|---|---|---|---|
| [0 ; 1 000[ | 30 | 15 % | 0,03 |
| [1 000 ; 2 000[ | 65 | 47,5 % | 0,065 |
| [2 000 ; 4 000[ | 75 | 85 % | 0,0375 |
| [4 000 ; 8 000[ | 30 | 100 % | 0,0075 |
Classe modale : [1 000 ; 2 000[, de plus grande densité, 0,065, alors que la classe la plus fournie est [2 000 ; 4 000[. Classe médiane : celle où la fréquence cumulée franchit 50 %, [2 000 ; 4 000[ ; par interpolation linéaire, Me = 2 000 + 2 000 × (50 − 47,5)/(85 − 47,5), environ 2 133 euros. Moyenne par les centres de classes : (500 × 30 + 1 500 × 65 + 3 000 × 75 + 6 000 × 30)/200 = 517 500/200 = 2 587,5 euros.
Confusions fréquentes
- Classe modale et amplitudes inégales
- Avec des classes d'amplitudes différentes, la classe modale n'est pas celle de plus grand effectif mais celle de plus grande densité : ici [2 000 ; 4 000[ compte 75 dossiers, le plus grand effectif, mais sur une amplitude double, et sa densité n'est que 0,0375.
Dans une QRC de statistique descriptive, chaque nombre calculé appelle une phrase d'interprétation dans l'unité des données : « la moitié des dossiers est traitée en 5 jours au plus » vaut mieux qu'un « Me = 5 » isolé.
Se tester : vrai ou faux ?
Décidez si l’affirmation est vraie ou fausse, puis ouvrez le corrigé.
1.La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.Voir le corrigé
Vrai
Modifier la plus grande valeur d'une série change la moyenne mais pas la médiane, qui ne dépend que du rang central.
2.La variance s'exprime dans la même unité que les données.Voir le corrigé
Faux
Elle s'exprime dans le carré de l'unité ; c'est l'écart type, sa racine carrée, qui revient à l'unité des données.
3.Si l'on ajoute 3 à toutes les valeurs d'une série, l'écart type ne change pas.Voir le corrigé
Vrai
Une translation déplace la moyenne de 3 mais laisse les écarts à la moyenne inchangés : V(x + b) = V(x).
4.Avec des classes d'amplitudes inégales, la classe modale est celle dont la densité est la plus basse.Voir le corrigé
Faux
Il faut comparer les densités, effectif divisé par amplitude : la classe modale est celle dont la densité est la plus élevée.
5.Un caractère comme le niveau de risque attribué à un dossier est qualitatif ordinal.Voir le corrigé
Vrai
Ses modalités ne sont pas des nombres mais elles s'ordonnent naturellement, ce qui permet d'en donner une médiane.
Textes de référence
- Programmes de l'épreuve écrite n° 2 d'admissibilité du concours externe d'inspecteur des finances publiques (QCM et neuf options de QRC) — DGFiP — economie.gouv.fr (nouvel onglet)
- Guide ENFiP — préparer l'épreuve de QCM et de QRC du concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
- Rapport du jury 2026 — concours externe d'inspecteur des finances publiques — DGFiP — ENFiP (nouvel onglet)
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